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Als '''Funktional''' bezeichnet man in der in der Regel eine , deren als in einem <math>V</math> enthalten ist, während ihre in dem zugehörigen liegt.

Der Funktionalbegriff ist eng verbunden mit dem mathematischen Teilgebiet der , welches daraus seinen Namen gewonnen hat, da es aus dem Studium solcher Funktionale hervorgegangen ist. Hier ist der untersuchte Vektorraum <math>V</math> zumeist ein , also ein Vektorraum, dessen Elemente - oder wertige Funktionen sind, wobei diesen durch Funktionale Skalare zugeordnet werden. Als bedeutendes Beispiel eines solchen Funktionals kann etwa das gelten.

Dieser Artikel behandelt die (am meisten untersuchten) Fälle, in denen als <math>\mathbb{K}</math> der <math>\mathbb{R}</math> oder der <math>\mathbb{C}</math> zugrunde liegt und die Definitionsmenge des jeweiligen Funktionals mit dem Vektorraum <math>V</math> zusammenfällt. Als grundlegende Unterscheidung ist dabei sinnvoll, und nichtlineare Funktionale gesondert zu betrachten, da diese beiden Arten von Funktionalen auf sehr unterschiedliche Weise in der Mathematik behandelt werden.

Definition

Sei <math>V</math> ein <math>\mathbb{K}</math>- mit <math>\mathbb{K} \in \{\R , \Complex\}</math>. Ein Funktional <math>T</math> ist eine Abbildung <math>T \colon V \to \mathbb{K}.</math>

Beispiele

Ein lineares Funktional auf dem Vektorraum <math>\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{K})</math> der Funktionen auf der reellen Achse ist das Auswertungsfunktional an der Stelle Null
<math>\delta\colon\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{K})\to\mathbb{K}, \quad

f\mapsto \delta[f]=f(0).</math>
Dieses Funktional heißt oder Dirac-Delta.

Ein nichtlineares Funktional auf dem Vektorraum der Kurven im Raum, speziell hier stetig differenzierbare Funktionen von <math>\left[0,1\right]</math> nach <math>\R^3</math>, ist das nfunktional
<math>L\colon\mathcal{C}^1\left(\left[0,1\right],\mathbb{R}^3\right)\to\mathbb{R}, \quad

c\mapsto L[c]=\int_0^1 \left\Vert\dot{c}(t)\right\Vert\ \mathrm{d}t.</math>

Lineare Funktionale

In den meisten Bereichen der Funktionalanalysis, etwa in der Theorie der , wird der Begriff Funktional (ohne weiteren Zusatz) als Synonym für lineare Funktionale benutzt. Ein solches Funktional ist also definitionsgemäß eine , also eine des Vektorraumes <math>V</math> in seinen Skalarkörper <math>\mathbb K</math>. Die Menge all dieser Funktionale ist wiederum in natürlicher Form ein Vektorraum über dem gleichen Körper <math>\mathbb K</math>, indem man für zwei Funktionale <math>f</math> und <math>g</math> über <math>V</math> die Addition und punktweise definiert, d. h.
<math> (f+g)(x):=f(x)+g(x) \quad (\lambda f)(x):=\lambda (f(x)), x\in V.</math>

Der Vektorraum der linearen Funktionale auf dem Vektorraum <math>V</math> wird der algebraische genannt und oft mit <math>V^{*}</math> bezeichnet.

Beispiele von Dualräumen

Für den Vektorraum <math>V = \R^n</math> ist der Dualraum kanonisch isomorph zum Vektorraum selbst, d. h. <math>V \cong V^*</math>. Der kanonische <math>I\colon\R^n\rightarrow(\R^n)^*</math> wird dabei über das vermittelt:
<math>(I(x))(y):=\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i \cdot y_i.</math>
Für den Vektorraum <math>V = \Complex^n</math> gilt ähnliches wie im ersten Fall, allerdings ist die kanonische Abbildung <math>I\colon\Complex^n\rightarrow(\Complex^n)^*</math> in diesem Fall :
<math>(I(x))(y):=\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n \overline{x_i} \cdot y_i.</math>

Der Dualraum ist in diesem Fall also gleich groß, hat aber bezüglich der kanonischen Abbildung eine andere Skalarmultiplikation. Im Sinne der sagt man auch: Der Dualraum ist kanonisch isomorph zum komplex konjugierten Vektorraum.

Für allgemeine endlichdimensionale Vektorräume kann man durch die Wahl einer Basis und Anwendung der beiden ersten Fälle zeigen, dass der Dualraum immer die gleiche Dimension wie der Ursprungsraum hat. Die Abbildungen zwischen dem Vektorraum und dem Dualraum sind dann aber im Allgemeinen nicht kanonisch.

Für unendlichdimensionale Vektorräume ist der Fall wesentlich komplizierter. In einigen wichtigen Fällen, z. B. für , ist der Vektorraum zwar ein kanonischer Unterraum, im Allgemeinen gilt dies allerdings nicht. Der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums hat zudem immer größere Dimension (im Sinne der Kardinalität einer algebraischen Basis) als der Ursprungsraum.

Stetige lineare Funktionale

Wie gerade gesehen, ist der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums immer größer oder gleich dem ursprünglichen Vektorraum. Das Ziel der Funktionalanalysis ist es nicht zuletzt, die Methoden der mehrdimensionalen Analysis auf unendlichdimensionale Räume auszudehnen und dabei insbesondere Konzepte wie , und zu untersuchen. Daher werden a priori nur Vektorräume betrachtet, die zumindest eine tragen, also die . Zu ihnen zählen unter anderem alle und insbesondere die und Hilberträume.

In einem topologischen Vektorraum sind im Allgemeinen nicht alle linearen Funktionale stetig. Die stetigen linearen Funktionale innerhalb des algebraischen Dualraums, also die auf <math>V</math> gegebenen stetigen Linearformen, bilden einen von <math>V^{*}</math>. Dies ist der ''topologische Dualraum von <math>V</math>'', der in der Funktionalanalysis einer der Hauptgegenstände ist. Er wird meist mit der Bezeichnung <math>V'</math> gekennzeichnet, von einigen Autoren jedoch auch mit derselben Bezeichnung wie der algebraische Dualraum, also ebenfalls mit <math>V^{*}</math>.

Beispiele topologischer Dualräume

Für endlichdimensionale Vektorräume gibt es eine natürliche Topologie (), die aus der hervorgeht (genauer gesagt: aus einer beliebigen euklidischen Norm, wenn man eine Basis wählt). Dies ist gerade die Topologie, die der normalen Standard-Analysis zugrunde liegt, und in dieser ist jedes lineare Funktional stetig. Das heißt, der algebraische Dualraum ist gleich dem topologischen Dualraum.

Im unendlichdimensionalen Fall ist der topologische Dualraum (fast) immer ein echter des algebraischen Dualraumes.

In normierten Vektorräumen ist ein Funktional <math>f</math> genau dann stetig, wenn es beschränkt ist, das heißt
<math>\sup_{ \| x \| \leq 1} |f(x)| <\infty .</math>

Der topologische Dualraum ist dann automatisch ein Banachraum mit der oben angegebenen .

In Hilberträumen ist der topologische Dualraum kanonisch mit dem Ursprungsraum identifizierbar (). Die Identifikation erfolgt wie im endlichdimensionalen Fall über das Skalarprodukt:
<math>(I(y)) :=\langle \cdot ,y\rangle.</math>

Der topologische Dualraum des Raumes der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger auf der reellen Achse (die so genannten Testfunktionen) mit einer bestimmten (hier nicht näher erklärten) Topologie wird als Raum der bezeichnet. In diesem Raum liegt auch das weiter oben genannte Beispiel des Dirac-Delta-Funktionals.

Nichtlineare Funktionale

Nichtlineare Funktionale traten historisch erstmals in der auf. Ihr Studium unterscheidet sich grundlegend von dem der oben beschriebenen linearen Funktionale. In der Variationsrechnung setzt man es sich beispielsweise zum Ziel, die Extremalpunkte solcher Funktionalpunkte zu bestimmen. Zu diesem Zweck benötigt man eine Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs der mehrdimensionalen Analysis, d. h. eine Definition des des Funktionals. In der Variationsrechnung und in den Anwendungen ist dieses Differential unter dem Namen bekannt, mathematisch präzisiert wird der Begriff z. B. durch die und die .

Beispiele von nichtlinearen Funktionalen

Große Bedeutung in der Anwendung, insbesondere in der haben nichtlineare Funktionale auf Kurvenräumen, wie in dem Beispiel des Bogenlängenfunktionals weiter oben. Man kann dieses Beispiel leicht verallgemeinern.

Wir betrachten wiederum einen Kurvenraum und zusätzlich eine stetig differenzierbare Funktion <math>F\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>. Damit definieren wir:
<math>L\colon\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}^3)\to\mathbb{R} \quad c\mapsto L[c]=\int_0^1 F(c(t)) \mathrm{d}t.</math>
Man sagt, das Funktional <math>L</math> habe einen stationären Punkt bei einer Kurve <math>c</math>, wenn das Differential
<math>\mathcal{D}L_c(h):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(F(c+ s h))</math>
für alle Variationen <math>h</math>, das sind Kurven mit Anfangs- und Endpunkt in der Null, verschwindet. Dies ist hier genau dann der Fall, wenn das (gewöhnliche) Differential von <math>F</math> auf der ganzen Kurve <math>c</math> verschwindet:
<math>DF(c(t))=0.</math>
Betrachtet man einen Kurvenraum und zweifach stetige Funktionen mit zwei Argumenten <math>F\colon\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>, so erhält man analog:
<math>L\colon\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}^3)\to\mathbb{R} \quad c\mapsto L[c]=\int_0^1 F(c(t),\dot{c}(t)) \mathrm{d}t,</math>
stationären Punkte bei einer Kurve <math>c</math>, wenn das Differential
<math>\mathcal{D}L_c(h):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(F(c+ s h))</math>
für alle Variationen <math>h</math>, verschwindet. Dies ist in diesem einfachen Fall genau dann der Fall, wenn <math>c</math> die erfüllt, d. h.
<math>D_1F(c(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}D_2F(c(t))=0.</math>

Bisweilen, insbesondere in anwendungsnahen Texten, schreibt man eine funktionale Abhängigkeit (im Gegensatz zu der gewöhnlichen funktionellen Abhängigkeit) mit eckigen oder geschweiften statt mit runden Klammern und nennt dabei eventuell ein Dummy-Argument der Argumentfunktion, also <math>I[f]</math> oder <math>I{f(x)}</math> statt <math>I(f)</math>.

Literatur

  • {{Literatur
   |Autor=
   |Titel=Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications
   |Verlag=
   |Ort=Philadelphia, PA
   |Datum=2013
   |ISBN=978-1-61197-258-0
   |Online=}}

  • {{Literatur
   |Autor=
   |Titel=Lineare Algebra
   |TitelErg=Eine Einf�hrung f�r Studienanf�nger
   |Auflage=16., �berarbeitete und erweiterte
   |Verlag=
   |Ort=Wiesbaden 
   |Datum=2008
   |Seiten=280?281
   |ISBN=978-3-8348-0428-0}}

  • : ''Funktionalanalysis im Hinblick auf Anwendung in der Physik'', AULA Verlag, 4. Aufl. 1988, ISBN 978-3-89104-479-7
  • {{Literatur
   |Autor=
   |Titel=Funktionalanalysis
   |TitelErg=Theorie und Anwendung
   |Reihe=Mathematische Leitf�den
   |Auflage=4.
   |Verlag=
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2006
   |ISBN=978-3-8351-0026-8
   |Online=}}

  • {{Literatur
   |Autor=, 
   |Titel=Einf�hrung in die Funktionalanalysis
   |TitelErg=Unver�nderter Nachdruck der Ausgabe 1971 
   |Reihe=B. I.-Hochschultaschenb�cher
   |BandReihe=296
   |Auflage=
   |Verlag=Bibliographisches Institut
   |Ort=Mannheim [u.�a.]
   |Datum=1991
   |ISBN=3-411-00296-4
   |Online=}}

  • {{Literatur
   |Autor=Peter Kosmol
   |Titel=Optimierung und Approximation
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |BandReihe=
   |Auflage=2.
   |Verlag=
   |Ort=Berlin
   |Datum=2010
   |ISBN=978-3-11-021814-5
   |Online=}}

  • {{Literatur
   |Autor=A. P. Robertson, W. J. Robertson
   |Titel=Topologische Vektorr�ume
   |TitelErg=�bersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgr�n
   |Reihe=B. I.-Hochschultaschenb�cher
   |BandReihe=164/164a
   |Verlag=Bibliographisches Institut
   |Ort=Mannheim
   |Datum=1967
   |Online=}}

Einzelnachweise